CONJUNTOS
I.
CONCEPTOS PREVIOS
En
matemática Conjunto y Elemento, son
conceptos primitivos que no se definen y se consideran conceptos
fundamentales. Intuitivamente, un Conjunto es una colección o agrupación
de objetos llamados Elementos.
Generalmente
los conjuntos se denotan por letras mayúsculas “A”, “B”, “C”, etc. Y los
elementos por letras minúsculas u otros símbolos, separados por comas y
encerrados entre llaves.
Ejm.:
Si
llamamos “A” al conjunto de vocales, entonces:
Es
un concepto primitivo que relaciona los elementos con los conjuntos; es decir,
si un elemento está en un conjunto o forma parte de él, diremos que “pertenece” a dicho conjunto y lo
denotaremos con el símbolo “Δ
y en el caso de no pertenecer por “Ï”.
La
pertenencia sólo se da entre elemento y conjunto.
|
a
Î A : Se
lee “a” pertenece a “A”
b
Ï
A :
Se lee “b” no pertenece a “A”
3.
DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
Se
dice que un conjunto está determinado cuando se sabe con precisión que
elementos pertenecen al conjunto y que elementos no pertenecen al conjunto,
existen 2 formas principales para determinar conjuntos.
A.
Por
Extensión o forma tabular:
Cuando
sus elementos están indicados explícitamente, es decir, se mencionan en forma
completa los elementos del conjunto.
Ejm.:
A
= {7; 8; 9; 10; 11};
Se
lee: “A” es el conjunto cuyos elementos
son: 7; 8; 9; 10 y 11.
B.
Por
comprensión o forma constructiva: Cuando se enuncia una propiedad común que caracteriza
a los elementos de dicho conjunto.
Así,
del ejemplo anterior.
A
= {x/x Î
N ; 6 < x < 12}
Se
lee: “A” es el conjunto de los elementos
“x”, tal que “x” es un número natural, además es mayor que 6 pero menor que 12.
4.
CARDINAL DE UN CONJUNTO
Es
el número de elementos diferentes que posee un conjunto finito.
Ejm.:
Sea: A = {a, e, i, o, u}
Entonces: n(A) = 5
Que
se lee: El cardinal de “A” es 5
5.
CLASIFICACIÓN
DE CONJUNTOS
5.1. CONJUNTOS FINITOS O INFINITOS
Un conjunto es finito
si consta de un cierto número de elementos distintos, es decir si al contar los
diferentes elementos del conjunto el proceso de contar puede acabar. En caso
contrario, el conjunto es infinito.
Ejemplos:
M = { x /
x es un río de la tierra } Conjunto finito
N = { 0,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... } Conjunto infinito
P = { x /
x es un país de la tierra } Conjunto finito
V = { 3,
6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ... } Conjunto infinito
5.2. CONJUNTOS
ESPECIALES
A.
Conjunto
Vacío o Nulo:
Es
aquel conjunto que no posee elementos.
Se le representa por: { } y se denota por el símbolo: Æ.
Es
decir: {x/x ¹
x} = { } = Æ
Ejm.: {x/x Î N; 5 < x < 6} = { }
No
existe un “x Î
N” que sea mayor que 5 y menor que 6
a la vez.
B.
Conjunto
Unitario:
Es
aquel que está constituido por un solo elemento. Se le llama también “SINGLETÓN”.
Ejm.:
{x/x
Î
N; 5 < x < 7} = {6} puesto
que “6 Î
N” es el único comprendido entre 5 y 7.
C.
Conjunto
Universal: Es un
conjunto referencial que contiene a todos los conjuntos considerados y se le
denota generalmente por “U”.
Así
por ejemplo, el conjunto “U” para los siguientes conjuntos:
A
= {2; 4; 6; 8} y B = {1; 3; 5; 7; 9}
U
= {x/x Î
N; 1 £
x £
9} ó
U
= {x/x Î
N; x < 10} ó
U
= {x/x Î
Z}
6.
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
OBSERVACIÓN: “"”,
se lee: para todo
|
A.
Inclusión
de Conjuntos:
A
Ì
B Û
"
x Î
A ®
x Î
B
Se
lee: “A” está incluido en “B”, si y sólo
si, para cualquier “x” que pertenece a “A”, éste también pertenece a “B”.
§
Además:
A
Ì
B
”A”
está incluido en “B”
“A”
está contenido en “B”
“A”
es subconjunto de “B”
§
B É
A
“B”
incluye a “A”
“B”
contiene a “A”
“B”
es superconjunto de “A”
B.
Igualdad
de Conjuntos: Si todos los elementos del conjunto “A”
pertenecen al conjunto “B”, y todos los elementos del conjunto “B” pertenecen también al conjunto “A”,
entonces se dice que estos 2 conjuntos son iguales. Esta igualdad de los conjuntos “A” y “B” se
denota por: A = B.
Ejm.: Si:
A
= {x/x es una letra de la palabra AROMA}
B = {x/x es una letra de la palabra MAROMA}
Entonces: A = {A, R, O, M}
B = {M, A, R, O}
C.
Conjuntos disjuntos
Si dos conjuntos A y
B no tienen ningún elemento común entonces A y B son disjuntos.
Ejemplo: A = { 2, 4, 6 } B = { 1, 3, 5 }
A
y B son disjuntos
D.
Conjunto
Potencia:
Sea: A = {a, b}; todos los subconjuntos de este
conjunto son: {a}; {b}; {a, b}; Æ
Al
conjunto cuyos elementos son los
subconjuntos anteriores, se le llama también conjunto de partes de “A” y se le denota:
P(A)
= {Æ,
{a}, {b}, {a, b}}
En
general, el número de subconjuntos se halla con la siguiente relación: 2n; donde “n” es el número de
elementos del conjunto.
n[P(A)] = 2n(A)
|
Ejm.: A = {m, a, r}; Entonces:
P(A)
= {
{m} , {a} , {r} , {m, a} , {m, r} , {a, r}, {m, a, r}, Æ}
n[P(A)]
= 23 = 8 subconjuntos.
§
n[subconjuntos
propios de “A”] = 2n(A) – 1
7.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS CONJUNTOS (para verlo haz clic aquí)
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