jueves, 20 de septiembre de 2012
martes, 29 de mayo de 2012
sábado, 26 de mayo de 2012
CONJUNTOS
I.
CONCEPTOS PREVIOS
En
matemática Conjunto y Elemento, son
conceptos primitivos que no se definen y se consideran conceptos
fundamentales. Intuitivamente, un Conjunto es una colección o agrupación
de objetos llamados Elementos.
Generalmente
los conjuntos se denotan por letras mayúsculas “A”, “B”, “C”, etc. Y los
elementos por letras minúsculas u otros símbolos, separados por comas y
encerrados entre llaves.
Ejm.:
Si
llamamos “A” al conjunto de vocales, entonces:
Es
un concepto primitivo que relaciona los elementos con los conjuntos; es decir,
si un elemento está en un conjunto o forma parte de él, diremos que “pertenece” a dicho conjunto y lo
denotaremos con el símbolo “Δ
y en el caso de no pertenecer por “Ï”.
La
pertenencia sólo se da entre elemento y conjunto.
|
a
Î A : Se
lee “a” pertenece a “A”
b
Ï
A :
Se lee “b” no pertenece a “A”
3.
DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
Se
dice que un conjunto está determinado cuando se sabe con precisión que
elementos pertenecen al conjunto y que elementos no pertenecen al conjunto,
existen 2 formas principales para determinar conjuntos.
A.
Por
Extensión o forma tabular:
Cuando
sus elementos están indicados explícitamente, es decir, se mencionan en forma
completa los elementos del conjunto.
Ejm.:
A
= {7; 8; 9; 10; 11};
Se
lee: “A” es el conjunto cuyos elementos
son: 7; 8; 9; 10 y 11.
B.
Por
comprensión o forma constructiva: Cuando se enuncia una propiedad común que caracteriza
a los elementos de dicho conjunto.
Así,
del ejemplo anterior.
A
= {x/x Î
N ; 6 < x < 12}
Se
lee: “A” es el conjunto de los elementos
“x”, tal que “x” es un número natural, además es mayor que 6 pero menor que 12.
4.
CARDINAL DE UN CONJUNTO
Es
el número de elementos diferentes que posee un conjunto finito.
Ejm.:
Sea: A = {a, e, i, o, u}
Entonces: n(A) = 5
Que
se lee: El cardinal de “A” es 5
5.
CLASIFICACIÓN
DE CONJUNTOS
5.1. CONJUNTOS FINITOS O INFINITOS
Un conjunto es finito
si consta de un cierto número de elementos distintos, es decir si al contar los
diferentes elementos del conjunto el proceso de contar puede acabar. En caso
contrario, el conjunto es infinito.
Ejemplos:
M = { x /
x es un río de la tierra } Conjunto finito
N = { 0,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... } Conjunto infinito
P = { x /
x es un país de la tierra } Conjunto finito
V = { 3,
6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ... } Conjunto infinito
5.2. CONJUNTOS
ESPECIALES
A.
Conjunto
Vacío o Nulo:
Es
aquel conjunto que no posee elementos.
Se le representa por: { } y se denota por el símbolo: Æ.
Es
decir: {x/x ¹
x} = { } = Æ
Ejm.: {x/x Î N; 5 < x < 6} = { }
No
existe un “x Î
N” que sea mayor que 5 y menor que 6
a la vez.
B.
Conjunto
Unitario:
Es
aquel que está constituido por un solo elemento. Se le llama también “SINGLETÓN”.
Ejm.:
{x/x
Î
N; 5 < x < 7} = {6} puesto
que “6 Î
N” es el único comprendido entre 5 y 7.
C.
Conjunto
Universal: Es un
conjunto referencial que contiene a todos los conjuntos considerados y se le
denota generalmente por “U”.
Así
por ejemplo, el conjunto “U” para los siguientes conjuntos:
A
= {2; 4; 6; 8} y B = {1; 3; 5; 7; 9}
U
= {x/x Î
N; 1 £
x £
9} ó
U
= {x/x Î
N; x < 10} ó
U
= {x/x Î
Z}
6.
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
OBSERVACIÓN: “"”,
se lee: para todo
|
A.
Inclusión
de Conjuntos:
A
Ì
B Û
"
x Î
A ®
x Î
B
Se
lee: “A” está incluido en “B”, si y sólo
si, para cualquier “x” que pertenece a “A”, éste también pertenece a “B”.
§
Además:
A
Ì
B
”A”
está incluido en “B”
“A”
está contenido en “B”
“A”
es subconjunto de “B”
§
B É
A
“B”
incluye a “A”
“B”
contiene a “A”
“B”
es superconjunto de “A”
B.
Igualdad
de Conjuntos: Si todos los elementos del conjunto “A”
pertenecen al conjunto “B”, y todos los elementos del conjunto “B” pertenecen también al conjunto “A”,
entonces se dice que estos 2 conjuntos son iguales. Esta igualdad de los conjuntos “A” y “B” se
denota por: A = B.
Ejm.: Si:
A
= {x/x es una letra de la palabra AROMA}
B = {x/x es una letra de la palabra MAROMA}
Entonces: A = {A, R, O, M}
B = {M, A, R, O}
C.
Conjuntos disjuntos
Si dos conjuntos A y
B no tienen ningún elemento común entonces A y B son disjuntos.
Ejemplo: A = { 2, 4, 6 } B = { 1, 3, 5 }
A
y B son disjuntos
D.
Conjunto
Potencia:
Sea: A = {a, b}; todos los subconjuntos de este
conjunto son: {a}; {b}; {a, b}; Æ
Al
conjunto cuyos elementos son los
subconjuntos anteriores, se le llama también conjunto de partes de “A” y se le denota:
P(A)
= {Æ,
{a}, {b}, {a, b}}
En
general, el número de subconjuntos se halla con la siguiente relación: 2n; donde “n” es el número de
elementos del conjunto.
n[P(A)] = 2n(A)
|
Ejm.: A = {m, a, r}; Entonces:
P(A)
= {
{m} , {a} , {r} , {m, a} , {m, r} , {a, r}, {m, a, r}, Æ}
n[P(A)]
= 23 = 8 subconjuntos.
§
n[subconjuntos
propios de “A”] = 2n(A) – 1
7.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS CONJUNTOS (para verlo haz clic aquí)
viernes, 18 de mayo de 2012
PROBLEMA SOBRE CONJUNTOS
Se encuestaron a
180 amas de casa sobre sus preferencias
por los canales de televisión A, B y C, obteniendo los siguientes resultados:
110 ven el canal A120 ven el canal B
130 ven el canal C
66 ven los canales
A y C
78 ven los canales A y B
90 ven los canales B y C
52 ven los tres canales
Según esto responde lo siguiente:
a) ¿Cuántas
amas de casa no ven ninguno de estos canales?
b) ¿Cuántas
amas de casa ven solamente el canal A?
c) ¿Cuántas
amas de casa ven solamente el canal B?
d) ¿Cuántas
amas de casa ven solamente el canal C?
e) ¿Cuántas
amas de casa ven solamente uno de estos tres canales?
f) ¿Cuántas
amas de casa ven solamente el canal A, pero no el canal B?
g) ¿Cuántas
amas de casa ven solamente el canal B, pero no el canal C?
h) ¿Cuántas
amas de casa ven solamente dos canales?
i)
¿Cuántas amas de casa ven por lo menos dos
canales?
j)
¿Cuántas amas de casa ven el canal A o el canal
B pero no el canal C?
Respuestas
a) 2
b) 18
c) 4
d) 26
e) 48
f) 32
g) 30
h) 78
i)
130
j)
48
domingo, 29 de abril de 2012
domingo, 4 de marzo de 2012
sábado, 25 de febrero de 2012
INTRODUCCION A LA ESTADÍSTICA
ESTADISTICA BASICA
DEFINICION : ESTADISTICA.
Se refiere a un conjunto de métodos para manejar la organización obtención y descripción de observaciones numéricas.
OBJETIVO:
Describir al conjunto de datos obtenidos y tomar decisiones o realizar generalizaciones a cerca de las características de todas las posibles observaciones bajo consideración:
La estadística se divide en :
Descriptiva: Organiza, presenta, obtiene y describe Información numérica.
Inferencial: Hace generalizaciones o predicciones en base, base a información parcial o incompleta obtenida mediante técnicas descriptivas.
DEFINICION:
ESTADISTICA INFERENCIAL.- Es un método mediante el cual se obtiene generalizaciones o se toman decisiones en base a una información parcial ò incompleta obtenida mediante métodos descriptivos, (Técnicas descriptivas).
ESTADISTICA DESCRIPTIVA.- Se refiere aquella parte del estudio que incluye la obtención, organización, presentación y descripción de información numérica.
Dos conceptos importantes dentro de la estadística población:
DEFINICION: Se define como la totalidad de todas las posibles mediciones y observaciones bajo consideraciones en una situación dada de un problema.
Variables:
DEFINICION: Denotadas por X, Y, Z
Se llaman así pues durante todo un proceso pueden tomar valores diferentes.
CONSTANTE:
DEFINICION: Se llama así pues durante todo un proceso, no cambia.
VARIABLES DISCRETAS:
Son aquellas variables que solo toma valores enteros positivos (las enumeraciones o conteos dan origen a datos discretos ejemplo).
El nacimiento de un niño.
En una familia el número de hijos.
Numero de acciones vendidas cada día en un mercado de valores.
Censos anuales del colegio de profesores.
Números de libros en un estante de librería.
Suma “S” de puntos obtenidos en lanzamientos de un par de dados.
Numero de billetes “n “de veinte dólares circulando ala vez en estados unidos.
Valor total de acciones vendidas cada día en el mercado de valores.
Estudiantes matriculados en una universidad en un número de años.
Numero “n” de individuos de una familia.
Numero “P” de pétalos de una flor.
Numero de de accidentes durante una semana.
Numero de terremotos.
Numero de juegos perdidos por inasistencia.
Cantidad de cosechas perdidas.
VARIABLES CONTINUA:
DEFINICION:
Es aquella que puede tomar cualquier valor entre dos valores dados.
Más aun:
DEF: Es aquella que puede tomar valores reales (medidas dan origen a datos continuos).
Ejemplos:
La altura “H” de los alumnos de la Lic. en comercio y FIN, INT
El peso “H” de los alumnos
Temperatura registrada cada media hora en un observatorio.
Periodo de duración de los tubos de televisión producidos por una compañía.
Longitud de 1000 cerrojos productos en una fabrica.
Pulgadas de precipitación en una ciudad durante varios meses del año.
Velocidad de un automóvil en millas por hora.
Tiempo “T” de vuelo de un proyectil.
Numero “G” de litros de agua en una maquina de lavar.
Diámetro “D” de una esfera o circunstancia.
Duración de unas baterías.
Alturas “H” de los pinos.
Pesos de las cajas de naranjas.
Duración de una conversación telefónica.
Tiempo para resolver un examen.
Poblaciones finitas.- Es aquella que incluye un numero limitado de medidas y observaciones.
Poblaciones finitas.- Es aquella que incluye un numero limitado de medidas y observaciones.
EJEMPLOS:
* La población consistente en todos los cerrojos producidos por una fabrica en un día determinado.
Poblaciones infinitas.- Es cuando incluye un gran conjunto de medidas u observaciones que no pueden alcanzarse por conteo.
Poblaciones infinitas.- Es cuando incluye un gran conjunto de medidas u observaciones que no pueden alcanzarse por conteo.
EJEMPLO:
* La población formada por los nacimientos de seres humanos en el pasado y en el futuro.
* La población formada por todos los posibles sucesos en tiradas sucesivas de una moneda.
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